همه چیز درباره جدول فراوانی 🗺️ ریاضی هشتم – داده‌های آماری

دسته بندی ها : اخبار سایت ۲۲ اردیبهشت ۱۳۹۸ alireza 341 بازدید

دوست داری با «دو دو تا چهار تا»ی خودت بفهمی بهترین تیم تاریخ لیگ برتر فوتبال کدومه؟ یا مثلاً نمودار عملکرد درسی خودت رو توی سال‌های مختلف ببینی؟ ما خیلی وقت‌ها با اعدادی مثل نمرات درسی، خرج و مخارج زندگی، تعداد کاربران فضای مجازی و … سر و کار داریم که بررسی آن‌ها خیلی به ما کمک می‌کند. در این آموزش، از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، مفهوم بسیار کاربردی دسته بندی داده ها و جدول فراوانی به ما کمک خواهد کرد تا تعداد زیادی داده آماری را از هم تفکیک کرده و بررسی کنیم؛ اما قبل از آن مروری هم بر انواع نمودارهای آماری خواهیم داشت. حتماً تا آخر مطلب رو بخونید!

یادآوری

تعریف آمار

علم جمع آوری، سازماندهی و تحلیل و تفسیر اطلاعات را علم آمار می‌گویند. (با این مبحث در پایه‌های مختلف سر و کار داریم؛ مانند آموزش آمار ریاضی دهم)

تعریف داده آماری

به اطلاعات عددی که جمع‌آوری می‌کنیم، داده آماری گفته می‌شود.

انواع نمودارها و کاربردهای آن‌ها

انواع نمودار داده‌های آماری شامل موارد ذیل می‌باشد:

  1. نمودار میله‌ای: برای مقایسه تعداد و مشخص کردن کمترین و بیشترین داده آماری
  2. نمودار خط شکسته: برای نشان دادن تغییرات در مدتی مشخص
  3. نمودار تصویری: برای نشان دادن یک تعداد مشخص از داده‌ها با تصویر
  4. نمودار دایره‌ای: برای نشان دادن تعداد داده‌ها نسبت به کل

برای روشن‌تر شدن مفهوم نمودارها به مثال‌های مفهومی زیر در مورد ویروس کرونا توجه کنید:

نمودار میله‌ای و نمودار خط شکسته

(الف) نمودار میله‌ای: تعداد مبتلایان در روز ۱۳ فروردین (ب) نمودار خط شکسته: تعداد مبتلایان نیشابور در روز اول سال

نمودار دایره‌ای و نمودار تصویری

(ج) نمودار دایره‌ای: مقایسه تعداد کل مبتلایان در چهار شهر (د) نمودار تصویری: تعداد مبتلایان روز دهم سال

دسته بندی داده ها – شاهراه رسیدن به جدول فراوانی

هنگام کار با داده‌های آماری، ممکن است با تعداد داده بسیار زیاد مواجه شوید. مثلاً آیا می‌توانید وضعیت نمرات درس زبان انگلیسی یک مدرسه بزرگ ۲۰۰ نفری را تک تک بررسی کنید؟ قطعاً نه!

بیا بیشتر بخونیم:
خط و دایره : از سیر 🧄 تا پیاز 🧅

چگونه می‌توانیم این همه داده پراکنده را که جمع‌آوری شده است بررسی کنیم و به نتیجه برسیم؟ با دسته بندی داده ها متناسب با موضوع آماری و تشکیل جدول فراوانی آن.

دسته بندی داده ها

به عنوان مثال در یک بررسی آماری با تعداد ۳۶ داده، می‌توان ۶ دسته داشت که هر کدام ۶ داده دارند؛ با تعاریف و روش‌هایی که در ادامه یاد می‌گیرید، آن‌ها را بررسی کرده و برای آن‌ها جدول فراوانی تشکیل می‌دهیم.

تعاریف

دامنه تغییرات

اختلاف بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده آماری را دامنه تغییرات می‌گویند.

دامنه تغییرات

طول دسته

اختلاف بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده در یک دسته را طول دسته می‌گویند.

طول دسته

میانگین

میانگین، همان‌طور که در سال‌های قبل یاد گرفته‌اید، متوسط داده‌هاست که از تقسیم مجموع داده‌ها به تعداد آن‌ها محاسبه می‌شود.

تعریف میانگین برای تشکیل جدول فراوانی

مرکز دسته

میانگین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده‌های یک دسته می‌باشد که از تقسیم جمع این دو داده تقسیم بر ۲ بدست می‌آید.

مرکز دسته برای دسته بندی داده ها

فراوانی

تعداد داده‌های هر دسته را فراوانی می‌گویند.

جدول فراوانی

جدولی شامل طول دسته ها، فراوانی هر دسته و مرکز دسته، که در ادامه بررسی خواهد شد.

مثال ۱: در یک کلاس درس ۱۴ نفری، معلم گروه‌های علمی تشکیل داده و اعلام کرده است به بالاترین میانگین نمرات گروهی، جایزه می‌دهد. نمرات و گروه‌بندی دانش‌آموزان به این صورت است:

مثالی از تعاریف مقدماتی جدول فراوانی

دامنه تغییرات، طول هر دسته، میانگین کل، مرکز هر دسته و فراوانی دسته‌ها را بدست آورید. کدام گروه برنده جایزه می‌شوند؟ در کدام گروه دانش‌آموزان از لحاظ نمره به هم نزدیکترند؟

حل ۱:

برای بدست آوردن دامنه تغییرات، باید بزرگترین و کوچکترین داده را مشخص کنیم (در کل داده‌ها): ۲۰ و ۱۴/۲۵، پس دامنه تغییرات برابر است با: ۲۰۱۴/۲۵=۵/۷۵

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های دایره : زاویه محاطی و زاویه مرکزی ⭕️📐 – مبحثی کاربردی در هندسه!

برای محاسبه طول هر دسته، از تفاضل بیشترین و کمترین نمره هر گروه استفاده می‌کنیم:

  • طول دسته ۱: ۱۹/۵۱۶=۳/۵
  • طول دسته ۲: ۲۰۱۴/۲۵=۵/۷۵
  • طول دسته ۳: ۲۰۱۹=۱

میانگین نمرات کل کلاس:

برای محاسبه مرکز هر دسته بزرگترین و کوچکترین نمره هر گروه را با هم جمع کرده و به ۲ تقسیم می‌کنیم:

x¯¯¯=SNx¯¯¯=۱۷+۱۹+۱۶/۵++۱۹/۷۵+۱۹۱۴x¯¯¯=۱۸

  • مرکز دسته ۱: ۱۹/۵+۱۶۲=۱۷/۷۵ ؛
  • مرکز دسته ۲: ۲۰+۱۴/۲۵۲=۱۷/۱۲۵ ؛
  • مرکز دسته ۳: ۲۰+۱۹۲=۱۹/۵ .

فراوانی دسته، همان تعداد داده‌های هر گروه است:

  • فراوانی دسته ۱: ۵ عدد
  • فراوانی دسته ۲: ۵ عدد
  • فراوانی دسته ۳: ۴ عدد.

گروهی برنده چایزه است که بهترین میانگین را داشته باشد. پس میانگین هر گروه را محاسبه می‌کنیم:

  • میانگین گروه ۱: x¯¯¯۱=۱۷++۱۶۵=۱۷/۶
  • میانگین گروه ۲:x¯¯¯۲=۲۰++۱۴/۲۵۵=۱۷/۱۵
  • میانگین گروه ۳: x¯¯¯۳=۱۹/۵++۱۹۴=۱۹/۵۶

بنابراین گروه ۳ با میانگین بالاتر برنده جایزه خواهد بود.

حال می‌توانیم موارد بدست آمده را به شکل جدول هم دسته‌بندی کنیم:

نتایج محاسبات آماری مثال 1

طول دسته، معیاری برای نزدیک بودن داده‌ها در دسته بندی داده ها:

برای پاسخ به سؤال در مورد این که کدام گروه از لحاظ نمره به هم نزدیک‌تر بوده‌اند، می‌توان از طول دسته استفاده کرد؛ چون نشان می‌دهد بهترین و بدترین نمره چقدر فاصله دارند. در این مورد، گروه ۳ با طول دسته ۱ بهترین عملکرد را داشته‌اند.

مثال ۲: اگر میانگین ۵ نمره درسی شما ۱۷/۵ باشد، با گرفتن نمره‌های ۱۹ و ۱۵ در دو آزمون بعدی وضعیت نمره شما بهتر خواهد بود یا خیر؟

حل ۲:

میانگین ۵ نمره درسی شما ۱۷/۵ بوده است؛ بنابراین طبق فرمول میانگین x¯¯¯=SN۱۷/۵=S۵ مجموع نمرات او (S) برابر است با: S=۵×۱۷/۵=۸۷/۵

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های دایره : زاویه محاطی و زاویه مرکزی ⭕️📐 – مبحثی کاربردی در هندسه!

برای تعیین وضعیت، باید میانگین قبلی و میانگین جدید را با هم مقایسه کرد. برای بدست آوردن میانگین جدید:

x¯¯¯=SN=۸۷/۵+۱۹+۱۵۷

x¯¯¯=۱۲۱/۵۷۱۷/۳۵

به دلیل کاهش میانگین، نمره او کاهش یافته است.

روش دسته بندی داده ها و تشکیل جدول فراوانی

در این بخش ابتدا روند کلی دسته بندی داده ها و تشکیل جدول فراوانی را مرور کرده و پس از آن این موارد را در مثال بکار می‌گیریم. برای دسته بندی داده ها تا رسیدن به جدول فراوانی مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. دامنه تغییرات داده‌ها را بدست می‌آوریم.
  2. با تقسیم دامنه تغییرات به تعداد دسته‌های مورد نظر، طول هر دسته را محاسبه می‌کنیم. (طول دسته‌ها برابرند.)
  3. بر اساس طول دسته بدست آمده در مرحله قبل، داده‌ها را به بازه‌های مساوی با طول دسته تقسیم می‌کنیم.
  4. داده‌ها را با توجه به بازه‌های موردنظر، در دسته‌بندی‌ها قرار می‌دهیم.
  5. فراوانی هر دسته را با شمارش داده‌های هر دسته (بازه) بدست می‌آوریم. (می‌توان برای شمارش تعداد داده‌ها از خط نشان استفاده کرد.)
  6. مرکز دسته‌ها را تعیین می‌کنیم.
  7. هر دسته را در یک سطر از جدول فراوانی قرار داده و حاصل‌ضرب مرکز دسته در فراوانی را برای هر کدام محاسبه می‌کنیم.
  8. در صورت نیاز، نمودار فراوانی را نیز رسم می‌کنیم. در این نمودار، محور افقی طول دسته‌ها و محور قائم فراوانی می‌باشد.

تذکر: بازه عددی هر دسته بدین صورت است: ؛ یعنی عدد انتهایی مربوط به دسته بعدی است؛ به جز در دسته آخر که عدد انتهای بازه هم جزو دسته است، یعنی: .

بیا بیشتر بخونیم:
خط و دایره : از سیر 🧄 تا پیاز 🧅

محاسبه میانگین به کمک جدول فراوانی

زمانی که تعداد داده‌ها زیاد باشد، استفاده از فرمول گفته شده در بخش قبل، بسیار زمان‌بر خواهد بود.

در چنین شرایطی می‌توان ابتدا مطابق مراحل گفته شده در قسمت قبل، جدول فراوانی را تشکیل داد و سپس از فرمول زیر برای محاسبه میانگین کل داده‌ها استفاده کرد:

فرمول محاسبه میانگین به کمک جدول فراوانی داده ها

در واقع در این فرمول، جهت کاهش محاسبات، مرکز هر دسته به عنوان میانگین دسته در نظر گرفته شده است.

مثال ۳: نمرات ریاضی ۳۰ دانش‌آموز به صورت زیر می‌باشد:

داده‌های نمرات یک کلاس برای دسته بندی داده ها

با دسته بندی داده ها در ۳ دسته، میانگین نمره کلاس را بدست آورده و نمودار فراوانی آن را رسم کنید.

حل ۳:

مشاهده می‌شود که بیشترین و کمترین داده به ترتیب ۲۰ و ۸ است. مراحل زیر را طی می‌کنیم:

 

مراحل حل ۳:

مراحل زیر را برای رسیدن به پاسخ طی می‌کنیم:

    1. با تقسیم دامنه تغییرات به تعداد دسته‌ها، طول هر دسته محاسبه می‌شود: ۱۲۳=۴.
    2. نمرات ۸ الی ۱۲ را به حدود دسته‌هایی با طول ۴ تفکیک می‌کنیم؛ مطابق ستون اول (به باز و بسته بودن بازه دقت کنید- مثلاً عدد ۱۲ متعلق به دسته دوم است، نه دسته اول). دسته اول: عدد اول ۸ و طول دسته ۴ است، پس عدد انتهای دسته اول برابر است با ۸+۴=۱۲ (عدد ۱۲ مربوط به دسته بعدی است) پس حدود دسته ۸x<۱۲ است؛ دسته دوم: عدد اول ۱۲ و طول دسته ۴ است، پس عدد انتهای دسته دوم برابر است با ۱۲+۴=۱۶ (عدد ۱۶ مربوط به دسته بعدی است) پس حدود دسته
    3. ۱۲x<۱۶ است؛ دسته سوم: عدد اول ۱۶ و طول دسته ۴ است، پس عدد انتهای دسته اول برابر است با ۱۶+۴=۲۰ (عدد ۲۰ مربوط به همین دسته است؛ چون دسته آخر است) پس حدود دسته ۱۶x۲۰ است.
    4. با توجه به بازه‌های مشخص شده در جدول، تعداد نمرات هر بازه را شمارش می‌کنیم و خط نشان می‌کشیم و همچنین در قسمت فراوانی آن تعداد را ثبت می‌کنیم.
    5. مرکز دسته‌ها با توجه به حدود دسته‌ها تعیین می‌شود (در اینجا بر خلاف بند ۲ به باز یا بسته بودن بازه توجه نکنید). مرکز دسته اول، میانگین اعداد ۸ و ۱۲ است، یعنی ۸+۱۲۲=۱۰ ؛ مرکز دسته دوم میانگین اعداد ۱۲ و ۱۶ است، یعنی ۱۲+۱۶۲=۱۴ ؛ مرکز دسته سوم، میانگین اعداد ۱۶ و ۲۰ است، یعنی ۱۶+۲۰۲=۱۸ .
بیا بیشتر بخونیم:
خط و دایره : از سیر 🧄 تا پیاز 🧅

جدول فراوانی داده ها

میانگین نمرات کلاس، از تقسیم (مجموع حاصل‌ضرب فراوانی در مرکز دسته) بر (مجموع فراوانی‌ها = تعداد داده‌ها) بدست می‌آید:

x¯¯¯=۴۵۲۳۰۱۵/۰۷

همچنین نمودار فراوانی آن به این صورت خواهد بود:

نمودار فراوانی جدول فراوانی

زنگ آخر کلاس جدول فراوانی

در این درس‌نامه مهم، یاد گرفتیم که چگونه با یک سری مراحل ساده مانند محاسبه دامنه تغییرات و طول دسته، تعداد زیادی داده آماری را دسته بندی کنیم و برای آن‌ها جدول فراوانی تشکیل دهیم.

با این روش اکنون می‌توانیم میانگین را در بررسی حجم زیادی از داده‌های پراکنده بدست آوریم. حالا به راحتی می‌تونی با میانگین‌گیری ببینی مثلاً توی کدوم مقطع تحصیلی عملکرد بهتری در درس ریاضیات داشتی.

 

alireza

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

مطالب زیر را حتما بخوانید:

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

نظرات کاربران

    متاسفیم! برای ثبت دیدگاه باید وارد شوید!

    لینک کوتاه :

    لرن اس سی اچ بر روی سرورهای قدرتمند ایران سرور میزبانی می‌شود.

    © کليه حقوق محصولات و محتوای اين سایت متعلق به مدیر سایت می باشد و هر گونه کپی برداری از محتوا و محصولات سایت پیگرد قانونی دارد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان learnsch

    با عضویت در خبرنامه ویژه learnsch از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    کمک نیاز دارید? چت از طریق واتساپ