زاویه های دایره : زاویه محاطی و زاویه مرکزی ⭕️📐 – مبحثی کاربردی در هندسه!

دایره، یکی از پرکاربردترین شکل‌های موجود در زندگی ماست که در ریاضیات و هندسه مدام با مسائل آن سر و کار داریم. آموزش زاویه های دایره : زاویه محاطی و زاویه مرکزی که از سری آموزش ریاضی پایه هشتم است.

در این آموزش چه خواهیم گفت

در این آموزش خواهیم دید که خطوط و نقطه‌هایی که داخل دایره وجود دارند، می‌توانند دایره را به چند بخش تقسیم کنند. همچنین این خطوط و نقطه ها زاویه‌هایی به وجود می‌آورند که با یادگیری ویژگی‌های منحصر بفرد آن‌ها، بخش مهمی از مسائل هندسه در دایره برای ما حل خواهد شد. در این درس‌نامه، کمان، زاویه های دایره شامل زاویه مرکزی و زاویه محاطی و ویژگی‌های هر یک از آن‌ها با جزئیات آموزش داده می‌شود. در ادامه نیز با حل چند مثال، از این به بعد با خیال راحت از این موضوع در هندسه استفاده می‌کنیم.

کمان دایره

تعریف کمان

قسمتی از محیط دایره است که بین ۲ نقطه قرار می‌گیرد؛ مانند دو نقطه A و B روی محیط دایره زیر که کمان AB را ایجاد کرده است.

نکته ۱: هر دو نقطه بر روی دایره، در واقع آن را به دو کمان تقسیم می‌کنید: کمان کوچکتر و بزرگتر. به عنوان مثال، دو کمان آبی رنگ در شکل بالا.

نکته ۲: کمان با دو حرف (مانند وتر) یا سه حرف نام‌گذاری می‌شود؛ مثلاً در شکل قبل، کمان AB بزرگتر را می‌توان بصورت AMB نیز نشان داد.

نکته ۳: دایره، کمانی است که نقطه ابتدا و انتهای آن یکسان است. در شکل بالا، فرض کنید یک کمان از نقطه M شروع شود و به همان نقطه ختم گردد.

نحوه بیان بزرگی یک کمان

بزرگی یک کمان را می‌توان به دو صورت بیان نمود:

1. اندازه کمان
2. طول کمان

اندازه کمان

اندازه یک کمان بر حسب زاویه بیان می‌شود. اندازه کمان AB در شکل زیر برابر با °۱۲۰ است.

همان‌طور که می‌دانیم، یک دایره (همچون نکته ۳ بخش قبل) برابر با °۳۶۰ است؛ بنابراین در صورت داشتن اندازه یک کمان، با نوشتن یک تناسب ساده می‌توان تعیین کرد که این کمان چه کسری از دایره است.

همچنین برای بدست آوردن اندازه یک کمان که می‌دانیم دایره را به چند قسمت مساوی تقسیم کرده است، کافی است °۳۶۰ را به آن تعداد تقسیم کنیم.

مثال ۱: کمان نشان داده شده در شکل زیر چه کسری از دایره است؟

حل ۱:

اندازه کمان AB برابر با °۲۷۰ است؛ بنابراین برای پاسخ به این سؤال این اندازه را با °۳۶۰ تقسیم می‌کنیم:

 AB⌢۳۶۰=۳۴

یعنی کمان AB، سه ربع دایره است.

طول کمان

طول کمان، اندازه بخشی از محیط دایره است که کمان در آن بخش قرار دارد. اگر دایره به تعدادی مساوی کمان تقسیم شده باشد، مشابه روشی که در اندازه کمان بکار بردیم، طول یک کمان را از تقسیم محیط دایره به تعداد بخش‌های مساوی بدست می‌آوریم. به عبارت دیگر:

مثال ۲: دایره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر، با رسم ۹ شعاع از مبدأ، به ۹ قسمت مساوی تقسیم شده است. اندازه و طول همه کمان‌های ایجاد شده توسط شعاع‌ها را بدست آورید.

حل ۲:

در صورت سؤال گفته شده است که با رسم شعاع؛ یعنی منظور بدین شکل بوده است:

چون گفته شده به ۹ قسمت مساوی، بنابراین محاسبه اندازه و طول تنها یکی از کمان‌ها کافی است. اندازه کمان AB برابر است با:

 AB⌢=۳۶۰۹=۴۰°

در (ریاضیات پایه پنجم، فصل ششم) یاد گرفتیم که محیط دایره از فرمول   P=۲πr بدست می‌آید که r همان شعاع دایره است، پس طول کمان AB⌢ برابر است با:

 AB⌢=۲πr۹=۲۰π۹

زاویه های دایره

انواع وضعیت‌های قرار گرفتن زاویه های دایره

بطور کلی می‌توان وضعیت‌های زیر را برای زاویه های دایره در نظر گرفت:

حالت‌های (الف) و (ب)، زوایای خاصی از دایره به نام زاویه مرکزی و محاطی هستند که ویژگی‌های آن‌ها در ادامه مورد بحث قرار خواهد گرفت.

زاویه مرکزی

تعریف زاویه مرکزی

زاویه‌ای است که رأس آن، مرکز دایره و دو ضلع آن، شعاع‌های دایره می‌باشد. زاویه O در دایره زیر یک زاویه مرکزی دایره است.

اندازه زاویه مرکزی

اندازه زاویه مرکزی برابر است با اندازه کمان روبروی آن. در شکل بالا اندازه کمان‌های  AB⌢ و  CD⌢ هر دو برابر با اندازه زاویه O^ می‌باشد.

تذکر: طول کمان‌های  AB⌢ و  CD⌢ برابر نیست (مطابق بخش قبل)؛ بلکه به شعاع دایره‌های c۱ و c۲ بستگی دارد.

نکات مربوط به زاویه مرکزی

از خصوصیت زاویه مرکزی که در بالا بیان شد، می‌توان نکات زیر را نتیجه‌گیری نمود:

1. اگر در یک دایره دو کمان با هم برابر باشد، وترهای نظیر آن‌ها نیز برابر است.
2. اگر دایره به تعدادی کمان مساوی تقسیم شود، وترهای نظیر آن‌ها تشکیل چندضلعی منتظم می‌دهند.

اثبات نکته اول (زاویه مرکزی):

فرض کنید در دایره زیر  AB⌢=CD⌢ باشد. زوایای O^۱ و O^۲، زاویه های دایره از نوع مرکزی هستند، پس با کمان‌های روبروی خود مساویند و این یعنی O^۱=O^۲.

مثلث‌های OAB و OCDبه حالت برابری دو ضلع و زاویه بین (ض ز ض) هم‌نهشت هستند (یادآوری: فصل ششم، درس سوم کتاب درسی)، چون:

O^۱=O^۲

 (شعاع‌های دایره)OA¯¯¯¯¯¯¯=OC¯¯¯¯¯¯¯

(شعاع‌های دایره)OB¯¯¯¯¯¯¯=OD¯¯¯¯¯¯¯¯

با توجه به هم‌نهشتی این دو مثلث، وترهای AB¯¯¯¯¯¯¯ و CD¯¯¯¯¯¯¯¯با بکدیگر برابرند.

رسم چندضلعی منتظم به کمک خاصیت زاویه مرکزی

برای تقسیم دایره به n کمان موازی (یا رسم n -ضلعی منتظم)، ابتدا اندازه محیط دایره را به n تقسیم می‌کنیم، بنابراین اندازه هر کمان برابر با ۳۶۰n می‌باشد. نقاله را از مرکز دایره منطبق بر شعاع OA گذاشته و به اندازه (۳۶۰n) زاویه‌ای رسم می‌کنیم.

سپس به کمک پرگار از نقطه B، به اندازه وتر AB کمان رسم می‌کنیم تا محیط دایره را در نقاطی مشابه کمان‌های آبی رنگ در دایره بالا قطع کند. همچنین با رسم وترهای متناظر این کمان‌ها، n -ضلعی منتظم مانند شکل زیر بدست می‌آید.

زاویه محاطی

تعریف زاویه محاطی

زاویه‌ای است که رأس آن روی محیط دایره و دو ضلع آن، وترهایی از دایره می‌باشد. مانند زاویه T در دایره زیر.

اندازه زاویه محاطی

اندازه زاویه محاطی برابر است با نصف اندازه کمان روبروی آن.

نکات مربوط به زاویه محاطی

از خصوصیت ذکر شده برای زاویه محاطی، نکات زیر برداشت می‌شود:

1. همه زاویه‌های محاطی روبروی یک کمان با هم برابرند. (مانند زوایای P، Q، R و S)
2. روبروی یک کمان می‌توان بی‌نهایت زاویه محاطی رسم کرد.
3. زاویه محاطی روبروی قطر دایره برابر با °۹۰ است.
4. اگر همه رأس‌های یک چهارضلعی روی محیط دایره قرار داشته باشند، زوایای روبروی هم مکمل یکدیگرند.

اثبات نکته چهارم (زاویه محاطی):

چهارضلعی قرار گرفته در دایره زیر را در نظر بگیرید. مشاهده می‌شود که کمان‌های  BCD⌢و  BAD⌢ یک دایره کامل را می‌سازند، پس مجموع این کمان‌ها برابر با °۳۶۰ می‌باشد.

 BCD⌢+BAD⌢=۳۶۰°

از طرفی زاویه‌های محاطی دایره، نصف کمان روبروی خود هستند:

 A^=BCD⌢۲

 C^=BAD⌢۲

با قرار دادن اندازه کمان روبروی زاویه‌های محاطی در رابطه اول خواهیم داشت:

 ۲A^+۲C^=۳۶۰°

 ۲(A^+C^)=۳۶۰°

 A^+C^=۱۸۰°

پس زوایای A و C مکمل یکدیگرند. این روند را می‌توان برای زوایای B و D نیز انجام داد.

مثال ۳: در شکل زیر، اندازه زاویه A را بدست آورید.

حل ۳:

در شکل، اندازه کمان‌ها برحسب x داده شده است؛ برای محاسبه x از این نکته استفاده می‌کنیم که مجموع سه کمان نشان داده شده برابر با °۱۸۰ است، چون نیم‌دایره را تشکیل می‌دهند؛ بنابراین:

 ۲x+۳x+۴x=۱۸۰°

 ۹x=۱۸۰°

 x=۲۰°

زاویه‌های  C^۱ و  D^ ، زوایای محاطی دایره هستند و اندازه آن‌ها برابر با نصف کمان روبروی آن‌هاست:

 C=BD⌢۲

 C=۴x۲=۲x

 D=CE⌢۲

 D=۲x۲=x

از سوی دیگر در مثلث ACD ،  C^۱ زاویه خارجی مثلث بوده و برابر با مجموع دو زاویه غیر مجاور (یعنی A^ و D^) می‌باشد (یادآوری: فصل سوم، درس پنج کتاب درسی)

A^+D^=C^۱

A^+x=۲x

A^=x=۲۰°

مثال ۴ (یک مثال ترکیبی عالی با چاشنی زاویه های دایره):

طول کمان AB⌢ در شکل زیر را محاسبه کنید.

حل ۴:

با دقت در شکل، مشاهده می‌شود که یک دایره کامل داریم که در یک بخش از دایره قرار گرفته است و اضلاع این بخش از دایره، بر دایره کامل مماس است. به خاطر دارید که در مبحث خط و دایره، گفته شد خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره عمود است؟ از همین نکته برای حل این سؤال استفاده می‌کنیم:

پس مثلث ACH قائم‌الزاویه بوده و بدین ترتیب می‌توانیم زاویه O را بدست آوریم. اما چرا زاویه O؟ با دقت در دایره ناقص، متوجه می‌شویم که زاویه O، یک زاویه مرکزی برای این دایره می‌باشد؛ پس برای محاسبه طول کمان لازم است آن را محاسبه کنیم.

 O^+B^+H^=۱۸۰°

 O^+۳۰+۹۰=۱۸۰°

 O^=۶۰°

با توجه به ویژگی زاویه مرکزی، کمان AB نیز برابر با °۶۰ می‌باشد. حال برای محاسبه طول کمان از تناسب گفته شده در بخش زاویه مرکزی استفاده می‌کنیم (توجه شود که محیط دایره کامل با شعاع ۳r برابر است با  ۲π×۳r=۶πr ):

 ۶۰۳۶۰=AB⌢۶πr

 AB⌢=۶۰×۶πr۳۶۰

 AB⌢=πr

زنگ آخر کلاس زاویه های دایره : زاویه مرکزی و زاویه محاطی

در این درس، تعریف کمان و نحوه بیان بزرگی یک کمان را آموختیم؛ اکنون می‌توانیم طول و اندازه کمانی از دایره‌ای که به چند قسمت مساوی تقسیم شده را بدست آوریم. با زاویه های دایره از جمله زاویه مرکزی و زاویه محاطی و خصوصیات آن‌ها آشنا شدیم و با حل چند مثال، به کاربرد آن‌ها پی بردیم. این مبحث را برای همیشه در هندسه دایره به خاطر داشته باشید.